在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=-x2+c與y軸交于點P（0，4）．
（1）直接寫出拋物線的解析式．
（2）如圖，將拋物線y=-x2+c向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．
（3）直線BC與拋物線y=-x2+c交于M、N兩點（點N在點M的右側(cè)），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）若將拋物線y=-x2+c進行適當?shù)钠揭疲斊揭坪蟮膾佄锞€與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線y=-x2+c平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形，理由見解析；
（3）T（，0）或（，0）；
（4）平移后的拋物線的頂點為P′（，），平移的最短距離為．
（2）△BCQ是直角三角形，理由見解析；
（3）T（
1
+
2
5
3
3
+
3
5
4
（4）平移后的拋物線的頂點為P′（
5
8
27
8
5
2
8
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：1636引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C；經(jīng)過點A的直線與y軸正半軸交于點E，與拋物線的另一個交點為D（4，3），其中OA=2．
（1）求此拋物線及直線的解析式；
（2）若點P是直線上方拋物線上的一個動點，當△AEP的面積最大時，求點P的坐標；
（3）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ=45°，求點Q的坐標．發(fā)布：2025/5/25 1:30:1組卷：146引用：1難度：0.2 -
2．在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C．且點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，5）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖（甲）．若點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點．當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；
（3）圖（乙）中，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/25 2:0:6組卷：3191引用：11難度：0.6 -
3．在平面直角坐標系中，拋物線F：y=2（x-m）2+2m（m為常數(shù)）的頂點為A．
（1）若點A在第一象限，且，求此拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式，并直接寫出函數(shù)值y隨x的增大而減小時x的取值范圍；OA=5
（2）當x≤2m時，若函數(shù)y=2（x-m）2+2m的最小值為3，求m的值；
（3）分別過點P（4，2）、Q（4，2-2m）作y軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點M、N．當拋物線F與四邊形PQNM的邊兩個交點時，將這兩個交點分別記為點B、點C，且點B的縱坐標大于點C的縱坐標．
①若時，求m值；tan∠CQN=12
②若點B到y(tǒng)軸的距離與點C到x軸的距離相等，寫出m的值．發(fā)布：2025/5/25 2:0:6組卷：313引用：1難度：0.2
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