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2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷>
試題詳情
我們定義：點(diǎn)P在一次函數(shù)y=ax+b上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=cx上，若存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，我們稱(chēng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c為一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=cx的“向光函數(shù)”，點(diǎn)P稱(chēng)為“幸福點(diǎn)”．例如：點(diǎn)P（-1，-2）在y=x-1上，點(diǎn)Q（1，-2）在y=-2x上，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)二次函數(shù)y=x2-x-2為一次函數(shù)y=x-1和反比例函數(shù)y=-2x的“向光函數(shù)”，點(diǎn)P（-1，-2）是“幸福點(diǎn)”．
（1）判斷一次函數(shù)y=x+2和反比例函數(shù)y=-3x是否存在“向光函數(shù)”，若存在，請(qǐng)求出“幸福點(diǎn)”坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若一次函數(shù)y=x-k+1與反比例函數(shù)y=k+2x只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，求其“向光函數(shù)”的解析式；
（3）已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=cx有兩個(gè)“幸福點(diǎn)”A、B（A在B左側(cè)），其“向光函數(shù)”y=ax2+bx+c與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D左側(cè)），若有以下條件：①a+b+c=0②“向光函數(shù)”經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，4）③a＞b＞0，記四邊形ACBD的面積為S，求Sa的取值范圍．
y
=
c
x
y
=
c
x
y
=
-
2
x
y
=
-
2
x
y
=
-
3
x
y
=
k
+
2
x
y
=
c
x
S
a
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）（1，3）或（-3，-1）
（2）當(dāng)k=-1時(shí)，“向光函數(shù)”為y=x2+2x+1；當(dāng)k=7時(shí)，“向光函數(shù)”為y=x2-6x+9；
（3）2＜＜．
（2）當(dāng)k=-1時(shí)，“向光函數(shù)”為y=x2+2x+1；當(dāng)k=7時(shí)，“向光函數(shù)”為y=x2-6x+9；
（3）2＜
S
a
9
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/23 20:19:40組卷：1220引用：4難度：0.2
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6971引用：21難度：0.1 -
2．給定一個(gè)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個(gè)點(diǎn)叫做該函數(shù)的不變點(diǎn)．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個(gè)不變點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q（P在Q的左側(cè)），將點(diǎn)Q繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點(diǎn)C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點(diǎn)，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當(dāng)D、E兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時(shí)，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5