拋物線y=-x²+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），過點P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點N，連接BC和PC．
（1）a=

3

2

時，求拋物線的解析式和BC的長；
（2）如圖a＞1時，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在實數(shù)a,使

AP

PN

=

1

2

？若存在，求出a的值，如不存在，請說明理由．