【問題提出】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，將△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接AE，BF，試探究AE，BF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？
【特例探究】若AC=BC，將△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，直線BF與AE，AC分別交于點(diǎn)M，N．按以下思路完成填空（第一個(gè)空填推理依據(jù)，第二個(gè)空填數(shù)量關(guān)系，第三個(gè)空填位置關(guān)系）：
∵AC=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，
∴CE=CF．
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF．
∴△ACE≌△BCF（ SASSAS）．
∴AE ==BF，∠CAE=∠CBF．
又∵∠ANM=∠BNC，
∴∠AMN=∠BCN=90°．
∴AE ⊥⊥BM．
【猜想證明】若BC=nAC（n＞1），△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，直線AE與BF，BC分別交于點(diǎn)M，N，猜想AE與BF之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并就圖3所示的情況加以證明；
【拓展運(yùn)用】若AC=4，BC=6，將△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），直線AE與BF相交于點(diǎn)M，當(dāng)以點(diǎn)C，E，M，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】SAS；=；⊥
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/8 8:0:8組卷：55引用：3難度：0.5
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根（BC＞AB），OA=2OB，邊CD交y軸于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)E出發(fā)沿折線段ED-DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t＜6）秒，設(shè)△BOP與矩形AOED重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△BEP為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 3:30:1組卷：862引用：5難度：0.4 -
2．已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD=∠B′A′D′，起始位置點(diǎn)A在邊A′B′上，點(diǎn)B在A′B′所在直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B′在點(diǎn)A′的右側(cè)，連接AC和A′C′，將菱形ABCD以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°）．
（1）如圖1，若點(diǎn)A與A′重合，且∠BAD=∠B′A′D′=90°，求證：BB′=DD′．
（2）若點(diǎn)A與A′不重合，M是A′C′上一點(diǎn)，當(dāng)MA′=MA時(shí)，連接BM和A′C，BM和A′C所在直線相交于點(diǎn)P．
①如圖2，當(dāng)∠BAD=∠B′A′D′=90°時(shí)，請(qǐng)猜想線段BM和線段A′C的數(shù)量關(guān)系及∠BPC的度數(shù)．
②如圖3，當(dāng)∠BAD=∠B′A′D′=60°時(shí)，請(qǐng)求出線段BM和線段A′C的數(shù)量關(guān)系及∠BPC的度數(shù)．
③在②的條件下，若點(diǎn)A與A′B′的中點(diǎn)重合，A′B′=4，AB=2，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/5/23 3:30:1組卷：1720引用：3難度：0.1 -
3．【推理】
如圖1，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，BE與CG交于點(diǎn)M．
（1）求證：CE=DG．
【運(yùn)用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若CE=6，求線段DH的長(zhǎng)．
【拓展】
（3）如圖3，在【推理】條件下，連結(jié)AM．則線段AM的最小值為 ．
發(fā)布：2025/5/23 4:0:1組卷：423引用：5難度：0.4
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