如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D（1，4），過點(diǎn)A的直線與拋物線相交于點(diǎn)C，與拋物線對稱軸DF交于點(diǎn)E，∠CAB=45°．
（1）求該拋物線解析式；
（2）在對稱軸DF上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、E、M為頂點(diǎn)的三角形與△CDE相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)P是線段AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PQ⊥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時，求P點(diǎn)坐標(biāo)與PQ的最大值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-（x-1）2+4；
（2）存在，M（1，-2）或（1，0）；
（3），．
（2）存在，M（1，-2）或（1，0）；
（3）
P
（
1
2
，
3
2
）
PQ
=
9
4
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：265引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖1，二次函數(shù)y=
（x-2）2的圖象記為C1，與y軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B，二次函數(shù)y=14（x-h）2-14h+1（h＞2）的圖象記為C2，其頂點(diǎn)為D，圖象C1、C2相交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.12
（1）求證：點(diǎn)D在直線AB上．
（2）求m和h的數(shù)量關(guān)系；
（3）平行于x軸的直線l1經(jīng)過點(diǎn)P與圖象C交于另一點(diǎn)E，與圖象C2交于另一點(diǎn)F，若=2，求h的值．PFPE
（4）如圖2，過點(diǎn)P作平行于AB的直線l2，與圖象C2交于另一點(diǎn)Q，連接DQ，當(dāng)DQ⊥AB時，h=（直接寫出結(jié)果）．
發(fā)布：2025/5/26 2:30:2組卷：355引用：2難度：0.1 -
2．如圖，拋物線y=ax2-2x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A（-1，0），C（0，-3），點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)Q落在拋物線上時，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是拋物線上的動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，C，P，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo) ；若不存在，請說明理由；
（4）直線CE交x軸于點(diǎn)F，若點(diǎn)G是線段EF上的一個動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)O，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo) ；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/26 3:0:2組卷：272引用：2難度：0.3 -
3．已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，線段OP交BC于點(diǎn)D，若S△CPD：S△COD=m,求m的最大值；
（3）當(dāng)BC平分∠PCO時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．發(fā)布：2025/5/26 3:0:2組卷：369引用：2難度：0.3