已知橢圓 C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，32），離心率為32，點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓相交于不同于點(diǎn)A的兩個點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)AP?AQ=0時，求△OPQ面積的最大值；
（Ⅲ）若x1y2-x2y1≥2，求證：|OP|2+|OQ|2為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
3
2
AP
AQ
【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（I）+y2=1；
（II）；
（III）證明：設(shè)P（2cosα，sinα），Q（2cosβ，sinβ），
由x1y2-x2y1≥2，即2cosαsinβ-2cosβsinα=2sin（β-α）≥2，
但2sin（β-α）≤2，可得sin（β-α）=1，即為β-α=2kπ+，k∈Z，
即β=2kπ+α+，k∈Z，
可得cos2α=sin2β，cos2β=sin2α，
則|OP|2+|OQ|2=+=4cos2α+sin2α+4cos2β+sin2β
=4cos2α+sin2α+4sin2α+cos2α=5（cos2α+sin2α）=5為定值．
x
2
4
（II）
24
25
（III）證明：設(shè)P（2cosα，sinα），Q（2cosβ，sinβ），
由x1y2-x2y1≥2，即2cosαsinβ-2cosβsinα=2sin（β-α）≥2，
但2sin（β-α）≤2，可得sin（β-α）=1，即為β-α=2kπ+
π
2
即β=2kπ+α+
π
2
可得cos2α=sin2β，cos2β=sin2α，
則|OP|2+|OQ|2=
x
2
1
+
y
2
1
x
2
2
+
y
2
2
=4cos2α+sin2α+4sin2α+cos2α=5（cos2α+sin2α）=5為定值．
【解答】
【點(diǎn)評】
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