已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（3，1）在C上，且|PF1|?|PF2|=10．
（1）求C的方程；
（2）斜率為-3的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D．若直線PA，PD的斜率存在且分別為k1，k2，證明：k1?k2為定值．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
【答案】（1）-=1；
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則D（-x2，-y2），
設(shè)直線l的方程為y=-3x+m，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去y，可得，8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，可得|m|＞8，x1+x2=，x1x2=，
所以y1y2=（-3x1+m）（-3x2+m）
=9x1x2-3m（x1+x2）+m2=9?-3m?+m2=9-，
所以k1k2=?===-1，
所以k1?k2為定值-1．
x
2
8
y
2
8
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則D（-x2，-y2），
設(shè)直線l的方程為y=-3x+m，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去y，可得，8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，可得|m|＞8，x1+x2=
3
m
4
m
2
+
8
8
所以y1y2=（-3x1+m）（-3x2+m）
=9x1x2-3m（x1+x2）+m2=9?
m
2
+
8
8
3
m
4
m
2
8
所以k1k2=
y
1
-
1
x
1
-
3
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
y
1
y
2
+
y
1
-
y
2
-
1
x
1
x
2
+
3
x
1
-
3
x
2
-
9
8
-
m
2
8
-
3
（
x
1
-
x
2
）
m
2
8
-
8
+
3
（
x
1
-
x
2
）
所以k1?k2為定值-1．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：569引用：5難度：0.5
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-
1．已知雙曲線C：
=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，過左焦點(diǎn)F的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)PQ⊥x軸時，|PA|=x2a2-y2b2，△PAQ的面積為3．10
（1）求C的方程；
（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)．發(fā)布：2024/12/18 0:0:1組卷：709引用：8難度：0.5 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為x2a2-y2b2=1．2+1
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．|MN||PQ|發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：542引用：11難度：0.5 -
3．已知雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF1的中點(diǎn)，且BF1⊥BF2，則C的離心率為（ ）C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）發(fā)布：2024/11/8 21:0:2組卷：445引用：8難度：0.5
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