【學習與思考】類比圓的切線，拋物線的切線是指過拋物線上一點的直線，這條直線不與x軸垂直并且與拋物線只有一個公共點．比如在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上的點P（1，1），過點P的切線可寫作：y=kx+b,代入x=1，y=1，得到b=-k+1，所以y=kx-k+1，與y=x2聯(lián)立，得到x2-kx+k-1=0，因為只有一個公共點，所以Δ=k2-4k+4=0，得到k=2，所以經(jīng)過點P的切線為y=2x-1．
【理解與應用】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=14x2．
（1）點A（m,n）（m≠0）在拋物線上，設過點A的切線為l.
①若m=2，求l的表達式；
②設l與y軸交于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，求證：四邊形OACB為平行四邊形；
（2）動點D，E在該拋物線上，分別過點D，E作拋物線切線l1，l2，設l1，l2交于點F．若點F始終在直線y=2x-1上，試說明直線DE經(jīng)過定點，并求出該定點坐標．
y
=
1
4
x
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）①直線l的表達式為：y=x-1；②見解答；（2）直線DE過定點，定點坐標為：（4，1）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：970引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A、B（A左B右），與y軸交于點C，直線y=-x+3經(jīng)過點B、C，AB=4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D在直線BC上方的拋物線上，過點D作x軸的垂線，垂足為F，交BC于點E，DE=2EF，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，點G在點B右側(cè)x軸上，連接CG，AC，，過點G作GP⊥x軸交拋物線于點P，連接BP，點H在y軸負半軸上，連接HF，若∠OHF+∠GPB=45°，連接DH，求直線DH的解析式．∠ACO=12∠AGC發(fā)布：2025/5/23 12:30:2組卷：170引用：1難度：0.3 -
2．如圖，拋物線
與x軸相交于點A，與y軸交于點B，C為線段OA上的一個動點，過點C作x軸的垂線，交直線AB于點D，交該拋物線于點E．y=-43x2+103x+2
（1）求直線AB的表達式；
（2）當△BED為直角三角形時，求點C的坐標；
（3）當∠BED=2∠OAB時，求△BED的面積．
發(fā)布：2025/5/23 13:0:1組卷：304引用：1難度：0.1 -
3．已知二次函數(shù)解析式為y=x2-bx+2b-3．
（1）當拋物線經(jīng)過點（1，2）和點（m,n）時，等式m2-4m-n=-5是否成立？并說明理由；
（2）已知點P（4，5）和點Q（-1，-5），且線段PQ與拋物線只有一個交點，求b的取值范圍．發(fā)布：2025/5/23 13:0:1組卷：278引用：1難度：0.4