已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C（1，32）三點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上．
C
（
1
，
3
2
）
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（Ⅰ）橢圓E的方程為；
（Ⅱ）證法一：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． …（8分）
直線AM的方程為：，它與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可求得直線BN與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為． …（10分）
下面證明P、Q兩點(diǎn)重合，即證明P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：P
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴=．
因此結(jié)論成立．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上． …（14分）
證法二：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓E的方程并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． …（8分）
直線AM的方程為：，即．
直線BN的方程為：，即． …（10分）
由直線AM與直線BN的方程消去y，得=．
∴直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上． …（14分）
證法三：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． …（8分）
消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8． …（10分）
直線AM的方程為：，即．
直線BN的方程為：，即． …（12分）
由直線AM與直線BN的方程消去y得，．
∴直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上． …（14分）
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）證法一：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
直線AM的方程為：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
P
（
4
，
6
y
1
x
1
+
2
）
Q
（
4
，
2
y
2
x
2
-
2
）
下面證明P、Q兩點(diǎn)重合，即證明P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：P
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴
6
y
1
x
1
+
2
-
2
y
2
x
2
-
2
=
6
k
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
2
）
-
2
k
（
x
2
-
1
）
（
x
1
+
2
）
（
x
1
+
2
）
（
x
2
-
2
）
2
k
[
2
x
1
x
2
-
5
（
x
1
+
x
2
）
+
8
]
（
x
1
+
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
k
[
8
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
-
40
k
2
3
+
4
k
2
+
8
]
（
x
1
+
2
）
（
x
2
-
2
）
=
0
因此結(jié)論成立．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上． …（14分）
證法二：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓E的方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
直線AM的方程為：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
y
=
k
（
x
1
-
1
）
x
1
+
2
（
x
+
2
）
直線BN的方程為：
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
y
=
k
（
x
2
-
1
）
x
2
-
2
（
x
-
2
）
由直線AM與直線BN的方程消去y，得
x
=
2
（
2
x
1
x
2
-
3
x
1
+
x
2
）
x
1
+
3
x
2
-
4
=
2
[
2
x
1
x
2
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
4
x
2
]
（
x
1
+
x
2
）
+
2
x
2
-
4
2
[
8
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
-
24
k
2
3
+
4
k
2
+
4
x
2
]
8
k
2
3
+
4
k
2
-
4
+
2
x
2
=
4
（
-
4
k
2
+
6
3
+
4
k
2
+
x
2
）
-
4
k
2
+
6
3
+
4
k
2
+
x
2
=
4
∴直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上． …（14分）
證法三：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8． …（10分）
直線AM的方程為：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
y
=
k
（
x
1
-
1
）
x
1
+
2
（
x
+
2
）
直線BN的方程為：
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
y
=
k
（
x
2
-
1
）
x
2
-
2
（
x
-
2
）
由直線AM與直線BN的方程消去y得，
x
=
2
（
2
x
1
x
2
-
3
x
1
+
x
2
）
x
1
+
3
x
2
-
4
=
2
[
5
（
x
1
+
x
2
）
-
8
-
3
x
1
+
x
2
]
x
1
+
3
x
2
-
4
=
4
∴直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上． …（14分）
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：97引用：4難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7