如圖1，已知直線AB∥CD，點P、Q分別在直線AB和直線CD上的點，點O在直線AB與直線CD之間．（其中∠APO和∠CQO均為鈍角）
（1）求證：∠POQ=∠BPO+∠DQO．
小明同學做法如下，請同學們幫助小明同學將以下①②③處補充完整）
證明：如圖1，過O點作直線EF∥AB，
∵AB∥EF
∴∠BPO=∠POE（①兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵AB∥CD
∴②EF∥CDEF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）
∴∠EOQ=③∠DQO∠DQO
又∵∠POQ=∠POE+∠QOE
∴∠POQ=∠BPO+∠DQO
（2）若∠POQ=90°，請直接寫出∠APO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系：∠APO+∠CQO=270°∠APO+∠CQO=270°．
（3）若∠POQ的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°，則∠APO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系為 ∠APO+∠CQO=360°-α∠APO+∠CQO=360°-α．（用含α的式子表示）
（4）如圖2，若∠OQD=60°，點M為平面內(nèi)一動點，點N為射線QD上一動點，連接MN，QM的長為定值（QM＜OQ），∠OQM=15°，當QM+MN的值最小時，請直接寫出∠QMN的度數(shù)．
【考點】三角形綜合題．
【答案】兩直線平行，內(nèi)錯角相等；EF∥CD；∠DQO；∠APO+∠CQO=270°；∠APO+∠CQO=360°-α
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：282引用：1難度：0.2
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1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，∠MCN=45°，射線CM交直線AB于點P，過點A作AD⊥CM于點D，直線AD交直線CN于點E，連接BE．
（1）當點P在線段AB上時，如圖①，求證：AD+BE=DE；
（2）當點P在BA的延長線上時，如圖②；當點P在AB的延長線上時，如圖③，線段AD，DE，BE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想，不必證明．
發(fā)布：2025/5/25 19:30:2組卷：79引用：1難度：0.3 -
2．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點F是線段BC上一點，D、E是射線AF上兩點，且∠ADB=∠BAC，∠AEC=60°．
（1）如圖1，
①填空：∠BAE ∠ACE；（填“＞”或“=”或“＜”）
②判定三條線段AD，BD，CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠DBC=15°，則直接寫出的值．FCBF
發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：278引用：3難度：0.1 -
3．如圖①，在△ABC中，∠ABC=90°，過點B作直線BD交邊AC于點D，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，過點C作CF⊥BD，垂足為點F，點O為AC的中點，連結(jié)OE、OF．
【證明推斷】求證：OE=OF．
小明給出的思路：先分別延長EO、CF交于點M，再證明△AEO≌△CMO．請你根據(jù)小明的思路完成證明過程．
【拓展應用】如圖②，當BC=4AB，∠DBC=45°時，解決下列問題：
（1）∠EFO的大小為 度．
（2）的值為 ．ODOC
發(fā)布：2025/5/25 18:0:1組卷：179引用：2難度：0.4
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