已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，離心率e=32，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O：x2+y2=45與直線AB相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，AB∥DC．記直線AC，BD的斜率分別為k1，k2，試問k1?k2是否為定值？證明你的結(jié)論．
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
e
=
3
2
O
：
x
2
+
y
2
=
4
5
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）k1?k2=為定值，證明過程如下：
由（I）得直線AB的方程為y=-x+1，
故可設(shè)直線DC的方程為y=-x+m，顯然m≠±1．
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）．
聯(lián)立
消去y得x2-2mx+2m2-2=0，
則Δ=8-4m2＞0，解得-＜m＜，且m≠±1，
∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
由，，
則=，
=，
=，
==．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）k1?k2=
1
4
由（I）得直線AB的方程為y=-
1
2
故可設(shè)直線DC的方程為y=-
1
2
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）．
聯(lián)立
x 2 4 + y 2 = 1 |
y = - 1 2 x + m |
則Δ=8-4m2＞0，解得-
2
2
∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
由
k
1
=
y
1
x
1
-
2
k
2
=
y
2
-
1
x
2
則
k
1
k
2
=
y
1
x
1
-
2
?
y
2
-
1
x
2
（
-
1
2
x
1
+
m
）
x
1
-
2
?
（
-
1
2
x
2
+
m
）
-
1
x
2
=
1
4
x
1
x
2
-
m
2
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
+
1
2
x
1
-
m
x
1
x
2
-
2
x
2
=
1
4
?
（
2
m
2
-
2
）
-
m
2
?
（
2
m
）
+
m
2
+
2
m
-
x
2
2
-
m
（
2
m
2
-
2
）
-
2
x
2
=
2
2
-
1
2
-
x
2
2
2
m
2
-
2
-
2
x
2
1
4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：440引用：4難度：0.1
相似題
-
1．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ?。?/h2>32發(fā)布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5 -
2．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為
、F1（-22，0），長軸長為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．發(fā)布：2024/12/29 11:30:2組卷：444引用：6難度：0.8 -
3．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7