已知等邊三角形ABC，過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線l,P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，連接QB．
（1）如圖1，直接寫出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P，B在AC同側(cè)，連接PB并延長(zhǎng)，與CQ交于點(diǎn)D，若AP=AC，求證：線段PD垂直平分CQ；
（3）如圖3，某地河堤路l旁有一邊長(zhǎng)為4的等邊三角形花圃ABC，且AC邊垂直于路l,市政部門計(jì)劃在河堤路另一側(cè)修建一個(gè)三角形的觀景平臺(tái)APQ，要求點(diǎn)P，B分別位于AC邊的異側(cè)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，再連接AQ和PQ，若三角形觀景平臺(tái)APQ的面積等于34，求此時(shí)AP的長(zhǎng)度．
3
4
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】（1）見(jiàn)解析過(guò)程；
（2）見(jiàn)解析過(guò)程；
（3）AP的值為．
（2）見(jiàn)解析過(guò)程；
（3）AP的值為
2
3
+
21
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/23 6:0:2組卷：100引用：1難度：0.3
相似題
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1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）連接CD，在CD的右側(cè)以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)，連接EH．
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，線段EH與AD的數(shù)量關(guān)系是 ，EH與AD的位置關(guān)系是 ．
【猜想論證】
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上且不是AB的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）若AC=BC=2，其他條件不變，連接AE、BE．當(dāng)△BCE是等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ADE的面積．2
發(fā)布：2025/5/23 18:30:2組卷：3336引用：18難度：0.1 -
2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，作∠BDE=∠BAC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交DE于點(diǎn)E，連接CE．（點(diǎn)A、E在BD的兩側(cè)）
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1所示，若∠A=45°時(shí)，AD、CE的數(shù)量關(guān)系為 ，直線AD、CE的夾角為 ；
【類比探究】
（2）如圖2所示，若∠A=60°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【拓展延伸】
（3）若∠A=30°，AC=2，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長(zhǎng)．3發(fā)布：2025/5/23 18:30:2組卷：444引用：3難度：0.2 -
3．如圖，在正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)P為線段AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺完成以下作圖，畫圖過(guò)程用虛線表示．
（1）在圖1中，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE；連接PE交AC于F，則sin∠APF=；
（2）在圖2中，在線段AC上畫點(diǎn)Q，連接PQ，使得PQ∥BC；
（3）在圖3中，分別在線段AC，線段BC上畫M，N連接PM，MN，使得PM+MN最?。?/h2>發(fā)布：2025/5/23 19:30:1組卷：273引用：3難度：0.1
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