已知點(diǎn)P（2，1）在橢圓C：x28+y2b2=1上．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若直線l：x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，直線PA，PB與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|=|PN|．
x
2
8
+
y
2
b
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）將直線l：x-2y+m=0（m≠0）代入橢圓方程得，
2x2+2mx+m2-8=0，
∵直線l：x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，
∴Δ=4m2-8（m2-8）＞0，
解得-4＜m＜0，或0＜m＜4，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-m，x1 x2=，y1=，y2=，
設(shè)PA與PB的斜率分別為k1，k2，
∴k1+k2=
=
=
=
=0，
因?yàn)閗1+k2=0，
∴∠PMN=∠PNM，
所以|PM|=|PN|
3
2
（2）將直線l：x-2y+m=0（m≠0）代入橢圓方程
x
2
8
+
y
2
2
=
1
2x2+2mx+m2-8=0，
∵直線l：x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，
∴Δ=4m2-8（m2-8）＞0，
解得-4＜m＜0，或0＜m＜4，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-m，x1 x2=
m
2
-
8
2
x
1
+
m
2
x
2
+
m
2
設(shè)PA與PB的斜率分別為k1，k2，
∴k1+k2=
y
1
-
y
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
（
x
1
+
m
2
-
1
）
（
x
2
-
2
）
+
（
x
2
+
m
2
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
x
1
x
2
+
（
m
-
4
）
（
x
1
+
x
2
）
-
4
（
m
-
2
）
2
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
m
2
-
8
-
m
2
+
4
m
-
4
m
+
8
2
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=0，
因?yàn)閗1+k2=0，
∴∠PMN=∠PNM，
所以|PM|=|PN|
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：10引用：1難度：0.5
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-
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（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
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的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6