【自主探究】
在課堂上，老師指導(dǎo)大家做以下實(shí)踐活動(dòng)：大小相同的兩個(gè)矩形ABCD，AEFG重合在一起，將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)G落在線段BC上，連接DE交AG于點(diǎn)H，如圖（1）．
在猜想線段HD與HE的數(shù)量關(guān)系時(shí)，大家一致認(rèn)為HD=HE，并且有兩個(gè)小組給出如下的證明思路．
劉聰組：已知線段HE是直角三角形EAH的斜邊，故可構(gòu)造一個(gè)以HD為斜邊的直角三角形，通過(guò)證明這兩個(gè)三角形全等，即可得到HD=HE；
王慧組：要想證明HD=HE，可構(gòu)造一個(gè)三角形，使得點(diǎn)H，A在此三角形的兩條邊上，再利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明．
【操作思考】
（1）請(qǐng)你分別在圖（1）、圖（2）中作出符合“劉聰組”和“王慧組”思路的輔助線，并將輔助線的作法寫(xiě)在下面的橫線上．
劉聰組：過(guò)D作DM⊥AG于M過(guò)D作DM⊥AG于M
王慧組：過(guò)D作DN∥AH交EA延長(zhǎng)線于N過(guò)D作DN∥AH交EA延長(zhǎng)線于N
（2）請(qǐng)你根據(jù)（1）中所作輔助線進(jìn)行判斷，下面說(shuō)法正確的是 CC
A．“劉聰組”的思路正確，“王慧組”的思路不正確
B．“王慧組”的思路正確，“劉聰組”的思路不正確
C．“劉聰組”和“王慧組”的思路都正確
D．“劉聰組”和“王慧組”的思路都不正確
【變式證明】
（3）將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)G落在線段CB的延長(zhǎng)線上，連接DE交GA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖（3），則HD=HE成立嗎？說(shuō)明理由．
【拓展延伸】
（4）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)F落在CB的延長(zhǎng)線上，連接DE交FA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，且點(diǎn)C，A，E在同一直線上，如圖（4），則HD=HE是否成立？如果成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出ADAB的值；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
AD
AB
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】過(guò)D作DM⊥AG于M；過(guò)D作DN∥AH交EA延長(zhǎng)線于N；C
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：144引用：1難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，BC邊在x軸上，已知AB=4
，BC=8，且點(diǎn)B點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱．5
（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接BE，若∠BEO=∠BAC，求OE的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)Q是△ABC外一點(diǎn)，連接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且∠BQC=∠BAC，∠BCQ=2∠AQC-90°，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使得四邊形AQCP為平行四邊形？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/6/7 0:0:1組卷：202引用：2難度：0.1 -
2．探究問(wèn)題．
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF，
△GAE≌．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．12發(fā)布：2025/6/7 1:0:2組卷：119引用：1難度：0.1 -
3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），過(guò)點(diǎn)B分別作BA⊥y軸，BC⊥x軸，得到一個(gè)長(zhǎng)方形OABC，D為y軸上的一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形OABC沿著直線DM折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，直線DM交BC于點(diǎn)E．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo) ；
（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使△PDE的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若Q點(diǎn)是線段DE上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接PQ，有一動(dòng)點(diǎn)H從P點(diǎn)出，發(fā)，沿線段PQ以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q，再沿著線段QE以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E后停止，請(qǐng)求出點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用的最少時(shí)間，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).5
發(fā)布：2025/6/7 0:30:1組卷：78引用：1難度：0.1