如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是?AE上的一點(diǎn)，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于F點(diǎn)．
（1）求證BC是圓O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF?DB；
（3）在（2）的條件下，延長ED、BA交于點(diǎn)P，若PA=AO，DE=2，求⊙O的半徑．
?
AE
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2．
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/24 9:0:1組卷：178引用：2難度：0.3
相似題
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1．在⊙O中，直徑AB與弦CD（非直徑）交于點(diǎn)E，DE=CE，弦BG⊥BC交⊙O于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：∠ABF=∠BCD；
（2）如圖2，點(diǎn)N為弧BD上一點(diǎn)，連接BN、NF，并延長NF交⊙O于點(diǎn)M，H為FG上一點(diǎn)，連接MH，BN=BF，∠HMF=∠HBN，求證：FH=GH．12發(fā)布：2025/5/24 14:30:1組卷：107引用：1難度：0.1 -
2．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是
的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程．?ABC
證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，?ABC
∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB=MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG即CD=DB+BA．
【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=4，BC=6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD=；?ABC
【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．?AC
【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半徑為5，則AD=．
發(fā)布：2025/5/24 15:30:1組卷：1264引用：8難度：0.2 -
3．已知AP=d是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、P重合），聯(lián)結(jié)AC，以直線AC為對稱軸翻折AO，將點(diǎn)O的對稱點(diǎn)記為O1，射線AO1交半圓O于點(diǎn)B，連接OC．
（1）如圖1，推斷AB和OC位置關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O1重合時(shí)，用d表示弧PC的長；
（3）過點(diǎn)C作射線AO1的垂線，垂足為E，連接OE交AC于F．當(dāng)d=10，O1B=1時(shí)，求的值．CFAF發(fā)布：2025/5/24 15:30:1組卷：57引用：1難度：0.3
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