我們知道，一元二次方程x²=-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1．若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“i”，使其滿足i²=-1（即方程x²=-1有一個(gè)根為i）．并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有i¹=i,i²=-1，i³=i²×i=（-1）×i=-i,i⁴=（i²）²=（-1）²=1，從而對(duì)任意正整數(shù)n,我們可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ×i=（i⁴）ⁿ×i=i,i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i,i⁴ⁿ=1．那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+…+i²⁰¹⁹的值為

-1

-1

．