在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），記η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，則稱(chēng)點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P1、P2被直線l分隔，則稱(chēng)直線l為曲線C的一條分隔線．
（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（-1，0）被直線x+y-1=0分隔；
（2）若直線y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線．
【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的性質(zhì)．
【答案】（1）把點(diǎn)（1，2）、（-1，0）分別代入x+y-1可得η=（1+2-1）（-1+0-1）=-4＜0，
∴點(diǎn)（1，2）、（-1，0）被直線 x+y-1=0分隔．
（2）（-∞，-]∪[，+∞）．
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則由題意可得?|x|=1，故曲線E的方程為[x2+（y-2）2]x2=1 ①．
對(duì)任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y軸與曲線E沒(méi)有公共點(diǎn)．
又曲線E上的點(diǎn)（1，2）、（-1，2）對(duì)于y軸（x=0）滿足η=1×（-1）=-1＜0，
即點(diǎn)（-1，2）和（1，2）被y軸分隔，所以y軸為曲線E的分隔線．
∴點(diǎn)（1，2）、（-1，0）被直線 x+y-1=0分隔．
（2）（-∞，-
1
2
1
2
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則由題意可得
x
2
+
（
y
-
2
）
2
對(duì)任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y軸與曲線E沒(méi)有公共點(diǎn)．
又曲線E上的點(diǎn)（1，2）、（-1，2）對(duì)于y軸（x=0）滿足η=1×（-1）=-1＜0，
即點(diǎn)（-1，2）和（1，2）被y軸分隔，所以y軸為曲線E的分隔線．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：820引用：14難度：0.3
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1．已知0＜k＜4直線L：kx-2y-2k+8=0和直線M：2x+k2y-4k2-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形面積最小值時(shí)k值為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2024/12/29 2:0:1組卷：324引用：7難度：0.7 -
2．數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)為A（0，0），B（5，0），C（2，4），則該三角形的歐拉線方程為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2024/11/12 21:0:2組卷：734引用：10難度：0.5 -
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；縱坐標(biāo)：x1+x2+x33y1+y2+y33發(fā)布：2024/10/25 1:0:1組卷：71引用：1難度：0.6
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