在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，焦距為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k,m∈R）與橢圓C相交于A，B兩點，且kOA?kOB=-34．
①求證：△AOB的面積為定值；
②橢圓C上是否存在一點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點P橫坐標的取值范圍；若不存在，說明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
3
4
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）①證明：設A（x1，y1），（x2，y2），則A，B的坐標滿足
，
整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=-，x1x2=．
由Δ＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
=k2×+km（-）+m2，
=．
由kOA?kOB==-．，即y1y2=-x1x2，
∴=-×，即2m2-4k2=3．
∵丨AB丨==×=．
O到直線y=kx+m的距離d=，
∴S=×d×丨AB丨=××=×
=×=．為定值．
∴△AOB的面積為定值；
②不存在，理由如下：
若存在平行四邊形OAPB使P在橢圓上，則=+，設P（x0，y0），
則x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=，
由于P在橢圓上，則，從而化簡得，即4m2=3+4k2，
由kOA?kOB=-，知2m2-4k2=3．
，解得方程組無解，
故不存在點P使OAPB為平行四邊形．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）①證明：設A（x1，y1），（x2，y2），則A，B的坐標滿足
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=-
8
km
3
+
4
k
2
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
由Δ＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
=k2×
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
8
km
3
+
4
k
2
=
3
m
2
-
12
k
2
3
+
4
k
2
由kOA?kOB=
y
1
y
2
x
1
x
2
3
4
y
1
y
2
x
1
x
2
3
4
∴
3
m
2
-
12
k
2
3
+
4
k
2
3
4
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
∵丨AB丨=
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
48
（
4
k
2
-
m
2
+
3
）
（
3
+
4
k
2
）
2
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
O到直線y=kx+m的距離d=
丨
m
丨
1
+
k
2
∴S=
1
2
1
2
丨
m
丨
1
+
k
2
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
1
2
m
2
1
+
k
2
×
2
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
=
1
2
3
+
4
k
2
2
×
24
3
+
4
k
2
3
∴△AOB的面積為定值；
②不存在，理由如下：
若存在平行四邊形OAPB使P在橢圓上，則
OP
OA
OB
則x0=x1+x2=-
8
km
3
+
4
k
2
6
m
3
+
4
k
2
由于P在橢圓上，則
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=
1
16
k
2
m
2
（
3
+
4
k
2
）
2
+
12
m
2
（
3
+
4
k
2
）
2
=
1
由kOA?kOB=-
3
4
4 m 2 = 3 + 4 k 2 |
2 m 2 - 4 k 2 = 3 |
故不存在點P使OAPB為平行四邊形．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/15 12:0:9組卷：173引用：3難度：0.5
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