已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點F1（-3，0），點Q（1，32）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過圓O：x2+y2=5上一動點P作橢圓C的兩條切線，切點分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點P的M，N兩點．
（ⅰ）求證：OM+ON=0；
（ⅱ）求△OAB的面積的取值范圍．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
Q
（
1
，
3
2
）
OM
+
ON
0
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)P（x0，y0），
①當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在時，設(shè)過P與橢圓相切的直線方程為y=k（x-x0）+y0，
聯(lián)立直線與橢圓的方程
，
整理可得（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-4=0，Δ=64k2（y0-kx0）2-4（1+4k2）[4（y0-kx0）2-4]，
由題意可得Δ=0，整理可得（4-）k2+2x0y0k+1-=0，
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，所以k1k2=，
又+=5，所以==-1，
所以PM⊥PN，即MN為圓O的直徑，所以+=；
②當(dāng)直線PA或PB的斜率不存在時，不妨設(shè)P（2，1），
則直線PA的方程為x=2，
所以M（2，-1），N（-2，1），也滿足+=；
（ii）[，1]．
x
2
4
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)P（x0，y0），
①當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在時，設(shè)過P與橢圓相切的直線方程為y=k（x-x0）+y0，
聯(lián)立直線與橢圓的方程
y = k （ x - x 0 ） + y 0 |
x 2 + 4 y 2 - 4 = 0 |
整理可得（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-4=0，Δ=64k2（y0-kx0）2-4（1+4k2）[4（y0-kx0）2-4]，
由題意可得Δ=0，整理可得（4-
x
2
0
y
2
0
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，所以k1k2=
1
-
y
0
2
4
-
x
0
2
又
x
2
0
y
2
0
1
-
（
5
-
x
0
2
）
4
-
x
0
2
x
0
2
-
4
4
-
x
0
2
所以PM⊥PN，即MN為圓O的直徑，所以
OM
ON
0
②當(dāng)直線PA或PB的斜率不存在時，不妨設(shè)P（2，1），
則直線PA的方程為x=2，
所以M（2，-1），N（-2，1），也滿足
OM
ON
0
（ii）[
4
5
【解答】
【點評】
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