動點P到定點F（0，1）的距離之比它到直線y=-2的距離小1，設動點P的軌跡為曲線C，過點F的直線交曲線C于A，B兩個不同的點，過點A，B分別作曲線C的切線，且二者相交于點M．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：AB?MF=0；
（3）求△ABM的面積的最小值．
AB
?
MF
=
0
【考點】圓錐曲線的軌跡問題．
【答案】（1）x2=4y．
（2）證：設直線AB的方程為：y=kx+1
由
得：x2-4kx-4=0，
設A（xA，yA），B（xB，yB），則xA+xB=4k，xA?xB=-4，
設過點A的切線方程為y=k（x-xA）+yA，
聯立x2=4y得：，
由Δ=0可得k=，
同理過點B的切線斜率k=，
∴直線AM的方程為：xAx=2（y+yA）…①，
直線BM的方程為：xBx=2（y+yB）…②，
①-②得：x（xA-xB）=2（yA-yB）=，即x==2k，
將x=代入①得：y=-1
∴故M（2k，-1），
∴
∴，
（3）4．
（2）證：設直線AB的方程為：y=kx+1
由
x 2 = 4 y |
y = kx + 1 |
設A（xA，yA），B（xB，yB），則xA+xB=4k，xA?xB=-4，
設過點A的切線方程為y=k（x-xA）+yA，
聯立x2=4y得：
x
2
-
4
kx
+
4
k
x
A
-
x
A
2
=
0
由Δ=0可得k=
1
2
x
A
同理過點B的切線斜率k=
1
2
x
B
∴直線AM的方程為：xAx=2（y+yA）…①，
直線BM的方程為：xBx=2（y+yB）…②，
①-②得：x（xA-xB）=2（yA-yB）=
1
2
（
x
A
2
-
x
B
2
）
x
A
+
x
B
2
將x=
x
A
+
x
B
2
∴故M（2k，-1），
∴
MF
=
（
2
k
，-
2
）
，
AB
=
（
x
B
-
x
A
，
k
（
x
B
-
x
A
）
）
∴
AB
?
MF
=
2
k
（
x
B
-
x
A
）
-
2
k
（
x
B
-
x
A
）
=
0
（3）4．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：728引用：7難度：0.3
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②曲線C上滿足|PF1|=|PF2|的P有且只有一個
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