已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（1，22），且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)直線l：mx+ny+13n=0（m,n∈R）交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的動(dòng)圓恒經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
1
3
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）證明：因?yàn)閯?dòng)直線過（0，-）點(diǎn)．
當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；
當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．
由
，解得x=0，y=1，
所以當(dāng)l與y軸平行時(shí)以AB為直徑的圓過點(diǎn)（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=kx-
由
所以（18k2+9）x2-12kx-16=0，
設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）則x1+x2=，（9分）
設(shè)定點(diǎn)（0，1）為T，又因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
=（x1，y1-1），x
2
2
+
y
2
=
1
（2）證明：因?yàn)閯?dòng)直線過（0，-
1
3
當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+
1
3
16
9
當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．
由
x 2 + （ y + 1 3 ） 2 = 16 9 |
x 2 + y 2 = 1 |
所以當(dāng)l與y軸平行時(shí)以AB為直徑的圓過點(diǎn)（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=kx-
1
3
由
y = kx - 1 3 |
x 2 2 + y 2 = 1 |
設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）則x1+x2=
12
k
18
k
2
+
9
x
1
x
2
=
-
16
18
k
2
+
9
設(shè)定點(diǎn)（0，1）為T，又因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
TA
TB
所以
TA
?
TB
4
3
k
（
x
1
+
x
2
）
16
9
-
16
（
1
+
k
2
）
18
k
2
+
9
4
3
k
12
k
18
k
2
+
9
16
9
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：71引用：1難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為
、F1（-22，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．發(fā)布：2024/12/29 11:30:2組卷：444引用：6難度：0.8 -
2．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ?。?/h2>32發(fā)布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5 -
3．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7