拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A,B(1,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點Q是AC上方拋物線上一點,若S△ACQ=12S△ABC,求點Q的坐標;
(3)如圖2,過點D(0,1)的直線交拋物線于E,F(xiàn)兩點,過點E的直線與過點F的直線交于點P,若直線PE和PF與拋物線均只有一個公共點,求P,C兩點的距離d的最小值.

S
△
ACQ
=
1
2
S
△
ABC
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;
(2)點Q的坐標為:(-1,4)或(-2,3);
(3).
(2)點Q的坐標為:(-1,4)或(-2,3);
(3)
2
5
5
【解答】
【點評】
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發(fā)布:2024/9/17 7:0:9組卷:293引用:5難度:0.3
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1.【生活情境】
為美化校園環(huán)境,某學校根據(jù)地形情況,要對景觀帶中一個長AD=4m,寬AB=1m的長方形水池ABCD進行加長改造(如圖①,改造后的水池ABNM仍為長方形,以下簡稱水池1).同時,再建造一個周長為12m的矩形水池EFGH(如圖②,以下簡稱水池2).
【建立模型】
如果設水池ABCD的邊AD加長長度DM為x(m)(x>0),加長后水池1的總面積為y1(m2),則y1關于x的函數(shù)解析式為:y1=x+4(x>0);設水池2的邊EF的長為x(m)(0<x<6),面積為y2(m2),則y2關于x的函數(shù)解析式為:y2=-x2+6x(0<x<6),上述兩個函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象如圖③.
【問題解決】
(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小,則EF長度的取值范圍是 (可省略單位),水池2面積的最大值是 m2;
(2)在圖③字母標注的點中,表示兩個水池面積相等的點是 ,此時的x(m)值是 ;
(3)當水池1的面積大于水池2的面積時,x(m)的取值范圍是 ;
(4)在1<x<4范圍內(nèi),求兩個水池面積差的最大值和此時x的值;
(5)假設水池ABCD的邊AD的長度為b(m),其他條件不變(這個加長改造后的新水池簡稱水池3),則水池3的總面積y3(m2)關于x(m)(x>0)的函數(shù)解析式為:y3=x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等時,x(m)有唯一值,求b的值.發(fā)布:2025/6/10 0:0:1組卷:1987引用:6難度:0.3 -
2.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)交坐標軸于A、B、C三點,OA=1,OB=4,∠ACB=90°,點D是直線BC下方拋物線上一點,設點D的橫坐標為t,DE⊥BC交直線BC于點E.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式;
(2)求當t為何值時,線段DE的長度最大?最大長度是多少?
(3)是否存在點D的位置,使△CDE與△AOC相似?若存在,請求出相應點D的坐標,若不存在,請說明理由.發(fā)布:2025/6/10 0:30:1組卷:318引用:3難度:0.3 -
3.已知:點P(2,-3)在拋物線L:y=a(x-1)2+k(a,k均為常數(shù)且a≠0)上,L交y軸于點C,連接CP.
(1)寫出L的對稱軸,并用含a的式子表示k;
(2)當L經(jīng)過點(4,-7)時,求此時L的表達式及其頂點坐標;
(3)橫,縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.如圖,當a<0時,若L在點C,P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)(含邊界)恰有5個整點,求a的取值范圍.發(fā)布:2025/6/10 0:30:1組卷:96引用:1難度:0.4