綜合與實(shí)踐一探究特殊四邊形中的旋轉(zhuǎn)相關(guān)問題
問題情境：小剛在學(xué)習(xí)了菱形與旋轉(zhuǎn)的知識后，進(jìn)行以下探究運(yùn)動：在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，點(diǎn)E是直線BD上一點(diǎn)，連接EA，將線段EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，連接BF．
（1）[初步探究]
如圖1，小剛發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，線段BF，BE，OB具有一定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出三者的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（2）[深入探究]
小剛發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E在線段OB的延長線上時(shí)，如圖2：當(dāng)點(diǎn)E在線段OD的延長線上時(shí)，如圖3．線段BF，BE，OB仍具有不同的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出數(shù)量關(guān)系，不需要證明．
圖2 BE+2OB=BFBE+2OB=BF
圖3 BF+2OB=BEBF+2OB=BE
（3）[再次探究]
小剛在畫完三幅圖形后、又有了新的發(fā)現(xiàn)，他發(fā)現(xiàn)三幅圖中的點(diǎn)F、B、C都共線，可是他不知道旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)F為什么會與點(diǎn)B，C共線，請你利用圖2幫助小剛證明F，B、C三點(diǎn)共線．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】BE+2OB=BF；BF+2OB=BE
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/10/10 5:0:1組卷：171引用：1難度：0.3
相似題
-
1．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
2．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí)，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí)，直接寫出CE的長度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5