[問題提出]
正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關系？
[問題探究]
如圖①，△ABC是等邊三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距離PF、PE、PD分別為h1、h2、h3，設△ABC的邊長是a,面積為S．過點O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos12∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin12∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°
∴S△ABC=3S△AOB=3×12AB×OM=3R2sin60°cos60°①
∵S△ABC又可以表示為12a（h1+h2+h3）②
聯(lián)立①②得12a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
∴12×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
[問題解決]
如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的分析過程，探究h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關系．
[性質(zhì)應用]
（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和h1+h2+h3+h4+h5+h6=6Rcos30°6Rcos30°．
（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和h1+h2+hn-1+hn=nRcos180°nnRcos180°n．
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1
2
1
2
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1
2
1
2
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°
n
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°
n
【考點】四邊形綜合題．
【答案】6Rcos30°；nRcos
180
°
n
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：149引用：1難度：0.2
相似題
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1．綜合與實踐
問題情境：在數(shù)學活動課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動如圖，矩形紙片ABCD中，點M、N分別是AD、BC的中點，點E、F分別在AB、CD上，且AE=CF．
動手操作：將△AEM沿EM折疊，點A的對應點為點P，將△NCF沿NF折疊，點C的對應點為點Q，點P、Q均落在矩形ABCD的內(nèi)部，連接PN、QM．
問題解決：（1）判斷四邊形PNQM的形狀，并證明；
（2）當AD=2AB=4，四邊形PNQM為菱形時，求AE的長．發(fā)布：2025/5/24 11:30:1組卷：112引用：2難度：0.3 -
2．【問題情境】
（1）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，AB，CD上的點，F(xiàn)G⊥AE于點Q．求證：AE=FG．
【嘗試應用】
（2）如圖2，正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D為格點，AB交CD于點O．求tan∠AOC的值．
【拓展提升】
（3）如圖3，點P是線段AB上的動點，分別以AP，BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交BC、PC、AC于點M、N、H，求的值．S△ADHS△ABC
發(fā)布：2025/5/24 13:0:1組卷：430引用：1難度：0.3 -
3．在四邊形ABCD中，AB=BC，∠B=60°；
（1）如圖1，已知，∠D=30°求得∠A+∠C的大小為．
（2）已知AD=3，CD=4，在（1）的條件下，利用圖1，連接BD，并求出BD的長度；
（3）問題解決；如圖2，已知∠D=75°，BD=6，現(xiàn)需要截取某種四邊形的材料板，這個材料板的形狀恰巧符合如圖2所示的四邊形，為了盡可能節(jié)約，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/24 12:0:1組卷：527引用：3難度：0.1