綜合與實踐
問題情境：在數(shù)學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，以點E為直角頂點，DE為直角邊作Rt△DEF，且ED=EF，DF交邊AB于點M，過點F作FG⊥AB于點G．
?
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）勤奮小組：過點F作FN⊥BC，交CB的延長線于點N（如圖2），發(fā)現(xiàn)△FNE≌△ECD．請你寫出證明過程；
（2）求實小組：受勤奮小組的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)線段FG與BG之間存在某種數(shù)量關系，請你寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明；
拓廣探索：
（3）創(chuàng)新小組：受勤奮小組和求實小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖3，在正方形ABCD中，點E是邊BC的四等分點，BE=14BC，以點E為直角頂點，DE為直角邊作Rt△DEF，且∠EDF=30°，DF交邊AB于點M，過點F作FG⊥AB于點G．線段FG與BG之間存在怎樣的數(shù)量關系？請你直接寫出結論．
1
4
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）FG=BG．證明見解析；
（3）．
（2）FG=BG．證明見解析；
（3）
FG
BG
=
4
-
3
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/14 8:0:9組卷：74引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，△AMN是邊長為2的等邊三角形，以AN，AM所在直線為邊的平行四邊形ABCD交MN于點E、F，且∠EAF=30°．
（1）當F、M重合時，求AD的長；
（2）當NE、FM滿足什么條件時，能使；32（NE+FM）=EF
（3）在（2）的條件下，求證：四邊形ABCD是菱形．
發(fā)布：2025/5/26 2:30:2組卷：150引用：2難度：0.1 -
2．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足是O，求證：AB2+CD2=AD2+BC2．
【拓展遷移】（2）如圖2，以三角形ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：CE⊥BG．
（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接GE，若∠EGA=90°，GE=6，AG=8，求BC的長．
發(fā)布：2025/5/26 2:30:2組卷：957引用：6難度：0.3 -
3．問題情境：
在數(shù)學課上，老師給出了這樣一道題：如圖1，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=30°，求BC的長．
探究發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖2，勤奮小組經過思考后發(fā)現(xiàn)：把△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，連接BD，BE，利用直角三角形的性質可求BC的長，其解法如下：
過點B作BH⊥DE交DE的延長線于點H，則BC=DE=DH-HE．
△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，AB=AC=6，∠BAC=30°∴……
請你根據(jù)勤奮小組的思路，完成求解過程．
拓展延伸：
（2）如圖3，縝密小組的同學在勤奮小組的啟發(fā)下，把△ABC繞點A順時針旋轉120°后得到△ADE，連接BD，CE交于點F，交AB于點G，請你判斷四邊形ADFC的形狀并證明；
（3）奇異小組的同學把圖3中的△BGF繞點B順時針旋轉，在旋轉過程中，連接AF，發(fā)現(xiàn)AF的長度不斷變化，直接寫出AF的最大值和最小值．
發(fā)布：2025/5/26 3:0:2組卷：83引用：1難度：0.3