已知拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A（2，y0）是E上一點(diǎn)，且|AF|=2．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)B是E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，直線AB與直線y=x-3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交E于點(diǎn)M，證明：直線BM過定點(diǎn)．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．
【答案】（1）E的方程為x2=4y；
（2）證明：設(shè)B（x1，y1），M（x2，y2）．由題意，可設(shè)直線BM的方程為y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0．
由根與系數(shù)的關(guān)系．得x1+x2=4k，x1x2=-4b．③
由MP⊥x軸及點(diǎn)P在直線y=x-3上，得P（x2，x2-3），
則由A，P，B三點(diǎn)共線，得=，
整理，得（k-1）x1x2-（2k-4）x1+（b+1）x2-2b-6=0．
將③代入上式并整理，得（2-x1）（2k+b-3）=0．
由點(diǎn)B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=k（x-2）+3．
即直線BM恒過定點(diǎn)（2，3）．
（2）證明：設(shè)B（x1，y1），M（x2，y2）．由題意，可設(shè)直線BM的方程為y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0．
由根與系數(shù)的關(guān)系．得x1+x2=4k，x1x2=-4b．③
由MP⊥x軸及點(diǎn)P在直線y=x-3上，得P（x2，x2-3），
則由A，P，B三點(diǎn)共線，得
x
2
-
4
x
2
-
2
k
x
1
+
b
-
1
x
1
-
2
整理，得（k-1）x1x2-（2k-4）x1+（b+1）x2-2b-6=0．
將③代入上式并整理，得（2-x1）（2k+b-3）=0．
由點(diǎn)B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=k（x-2）+3．
即直線BM恒過定點(diǎn)（2，3）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：637引用：8難度：0.6
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