過拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2．l1與E交于點A，B，l2與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l.
（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，證明：FM?FN＜2p2；
（Ⅱ）若點M到直線l的距離的最小值為755，求拋物線E的方程．
FM
?
FN
＜
2
p
2
7
5
5
【考點】直線與拋物線的綜合；平面向量數量積的性質及其運算．
【答案】（I） 證明：由題意，拋物線E的焦點為，直線l1的方程為．
由
，得．
設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實數根．
從而x1+x2=2pk1，．
所以點M的坐標為，．
同理可得點N的坐標為，．
于是．
由題設k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．
故．
（Ⅱ）x2=16y．
F
（
0
，
p
2
）
y
=
k
1
x
+
p
2
由
y = k 1 x + p 2 |
x 2 = 2 py |
x
2
-
2
p
k
1
x
-
p
2
=
0
設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實數根．
從而x1+x2=2pk1，
y
1
+
y
2
=
k
1
（
x
1
+
x
2
）
+
p
=
2
p
k
1
2
+
p
所以點M的坐標為
（
p
k
1
，
p
k
1
2
+
p
2
）
FM
=
（
p
k
1
，
p
k
1
2
）
同理可得點N的坐標為
（
p
k
2
，
p
k
2
2
+
p
2
）
FN
=
（
p
k
2
，
p
k
2
2
）
于是
FM
?
FN
=
p
2
（
k
1
k
2
+
k
1
2
k
2
2
）
由題設k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜
k
1
k
2
＜
（
k
1
+
k
2
2
）
2
=
1
故
FM
?
FN
＜
p
2
（
1
+
1
2
）
=
2
p
2
（Ⅱ）x2=16y．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：1440引用：8難度：0.1
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