給定橢圓C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為

a

2

+

b

2

的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為

F

（

2

，

0

）

，其短軸上的一個端點到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．
（Ⅱ）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，且l₁，l₂分別交其“準圓”于點M，N．
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求l₁，l₂的方程；
②求證：|MN|為定值．

【考點】直線與橢圓的綜合．

【答案】（Ⅰ），x²+y²=4；
（Ⅱ）
①y=x+2，y=-x+2；
②證明：當l₁，l₂都有斜率時，設(shè)點P（x₀，y₀），其中+=4，
設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
則，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，Δ=[6t（y₀-tx₀）]²-4?（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
經(jīng)過化簡得到：（3-）t²+2x₀y₀t+1-=0，
因為+=4，所以有（3-）t²+2x₀y₀t+（-3）=0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以t₁，t₂滿足上述方程（3-）t²+2x₀y₀t+（-3）=0，
所以t₁?t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
綜合①②知：因為l₁，l₂經(jīng)過點P（x₀，y₀），又分別交其準圓于點M，N，且l₁，l₂垂直，
所以線段MN為準圓x²+y²=4的直徑，所以|MN|=4．