已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的右焦點為（1，0），且經(jīng)過點A（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線l：y=kx+t（t≠±1）與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N．若|OM|?|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）證明：y=kx+t與橢圓方程x2+2y2=2聯(lián)立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=-，x1x2=，
AP的方程為y=x+1，令y=0，可得x=，即M（，0）；
AQ的方程為y=x+1，令y=0，可得x=．即N（，0）．
（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）
=（1+t2-2t）+k2?+（kt-k）?（-）=，
|OM|?|ON|=2，即為|?|=2，
即有|t2-1|=（t-1）2，由t≠±1，解得t=0，滿足Δ＞0，
即有直線l方程為y=kx，恒過原點（0，0）．
x
2
2
（Ⅱ）證明：y=kx+t與橢圓方程x2+2y2=2聯(lián)立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=-
4
kt
1
+
2
k
2
2
t
2
-
2
1
+
2
k
2
AP的方程為y=
y
1
-
1
x
1
x
1
1
-
y
1
x
1
1
-
y
1
AQ的方程為y=
y
2
-
1
x
2
x
2
1
-
y
2
x
2
1
-
y
2
（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）
=（1+t2-2t）+k2?
2
t
2
-
2
1
+
2
k
2
4
kt
1
+
2
k
2
（
t
-
1
）
2
1
+
2
k
2
|OM|?|ON|=2，即為|
x
1
1
-
y
1
x
2
1
-
y
2
即有|t2-1|=（t-1）2，由t≠±1，解得t=0，滿足Δ＞0，
即有直線l方程為y=kx，恒過原點（0，0）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/31 8:0:9組卷：7209引用：18難度：0.5
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．5
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3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ?。l．
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