過點M（1，0）的直線l與圓C：x2+（y-2）2=4交于A，B兩點．N為圓C與y軸正半軸的交點．
（I）若|AB|=23，求直線l的方程：
（II）證明：直線AN，BN的斜率之和為定值．
3
【考點】直線與圓的位置關(guān)系．
【答案】（I）x=1或3x+4y-3=0；
（II）證明：由題設(shè)容易得到點N坐標(biāo)（0，4），
設(shè)直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立圓的方程，可得關(guān)于x的一元二次方程：（k2+1）x2-（2k2+4k）x+（k2+4k）=0，
設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）可得x1?x2=，；
AN的斜率KAN=，BN的斜率KBN=，
則KAN+KBN====2k-2k-4=-4．
所以AN與BN的斜率之和為定值，從而結(jié)論得證．
（II）證明：由題設(shè)容易得到點N坐標(biāo)（0，4），
設(shè)直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立圓的方程，可得關(guān)于x的一元二次方程：（k2+1）x2-（2k2+4k）x+（k2+4k）=0，
設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）可得x1?x2=
k
2
+
4
k
k
2
+
1
x
1
+
x
2
=
2
k
2
+
4
k
k
2
+
1
AN的斜率KAN=
y
1
-
4
x
1
=
k
（
x
1
-
1
）
-
4
x
1
=
k
x
1
-
（
k
+
4
）
x
1
y
2
-
4
x
2
=
k
（
x
2
-
1
）
-
4
x
2
=
k
x
2
-
（
k
+
4
）
x
2
則KAN+KBN=
k
x
1
-
（
k
+
4
）
x
1
+
k
x
2
-
（
k
+
4
）
x
2
2
k
x
1
x
2
-
（
k
+
4
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
2
k
-
（
k
+
4
）
?
2
k
2
+
4
k
k
2
+
1
k
2
+
4
k
k
2
+
1
所以AN與BN的斜率之和為定值，從而結(jié)論得證．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：281引用：4難度：0.3
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