設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知|OM|=23，|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，P為C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別與C的準(zhǔn)線相交于D，E兩點(diǎn)，證明：以線段DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．
3
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑．
【答案】（1）y2=4x．
（2）證明：設(shè)直線l的方程為x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．
設(shè)點(diǎn)A（，y1），B（，y2），則y1+y2=4t，y1y2=-4．
設(shè)點(diǎn)P（，m），則
kPA==，
直線PA 的方程為y-m=（x-），
令x=-1，得y=m-（1+）=，
所以點(diǎn)D（-1，）．
同理，點(diǎn)E（-1，）．
設(shè)以線段DE為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為N（a，0），
則=（a+1，-），=（a+1，-）．
因?yàn)镈N⊥EN，則?=0，
即（a+1）2+?=0，
則（a+1）2=-?=-==4，
解得a=1或a=-3．
故以線段DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（1，0）和（-3，0）．
（2）證明：設(shè)直線l的方程為x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．
設(shè)點(diǎn)A（
y
2
1
4
y
2
2
4
設(shè)點(diǎn)P（
m
2
4
kPA=
y
1
-
m
y
2
1
4
-
m
2
4
4
y
1
+
m
直線PA 的方程為y-m=
4
y
1
+
m
m
2
4
令x=-1，得y=m-
4
y
1
+
m
m
2
4
m
y
1
-
4
y
1
+
m
所以點(diǎn)D（-1，
m
y
1
-
4
y
1
+
m
同理，點(diǎn)E（-1，
m
y
2
-
4
y
2
+
m
設(shè)以線段DE為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為N（a，0），
則
DN
m
y
1
-
4
y
1
+
m
EN
m
y
2
-
4
y
2
+
m
因?yàn)镈N⊥EN，則
DN
EN
即（a+1）2+
m
y
1
-
4
y
1
+
m
m
y
2
-
4
y
2
+
m
則（a+1）2=-
m
y
1
-
4
y
1
+
m
m
y
2
-
4
y
2
+
m
m
2
y
1
y
2
-
4
m
（
y
1
+
y
2
）
+
16
y
1
y
2
+
m
（
y
1
+
y
2
）
+
m
2
4
m
2
+
16
mt
-
16
m
2
+
4
mt
-
4
解得a=1或a=-3．
故以線段DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（1，0）和（-3，0）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：209引用：5難度：0.5
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（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則求|AB|+|DE|的最小值．發(fā)布：2024/9/22 1:0:8組卷：59引用：1難度：0.6 -
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