數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問(wèn)題并解答．問(wèn)題情境：在?ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．
數(shù)學(xué)思考：
（1）“興趣小組”提出的問(wèn)題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，與PC 交于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形AEFD是菱形．請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問(wèn)題；
拓展探究：
（2）“智慧小組”提出的問(wèn)題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決：
（3）“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問(wèn)題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上時(shí)，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的長(zhǎng)．
?
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）PF⊥PC；理由見(jiàn)解析；
（3）5．
（2）PF⊥PC；理由見(jiàn)解析；
（3）5．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/23 13:0:1組卷：607引用：5難度：0.4
相似題
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1．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí)，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
2．探究問(wèn)題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：879引用：1難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5