已知兩圓C1：x2+y2-2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圓心分別為C1，C2，P為一個動點，且|PC1|+|PC2|=22．
（1）求動點P的軌跡M的方程；
（2）是否存在過點A（2，0）的直線l與軌跡M交于不同的兩點C、D，使得|C1C|=|C1D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．
2
【答案】（1）；
（2）假設(shè)存在這樣的直線l滿足條件，
當直線l的斜率不存在時，易知點A（2，0）在橢圓M的外部，直線l與橢圓M無交點，所以直線l不存在．
當直線l斜率存在時，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-2），
由方程組
得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0①，
依題意Δ=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-＜k＜，
當-＜k＜時，設(shè)交點C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點為N（x0，y0），
方程①的解為，，則=，
∴y0=k（x0-2）=k（-2）=，
要使|C1C|=|C1D|，必須有C1N⊥l，即k=-1，
∴k=-1，化簡得0=-1，顯然不成立；
所以不存在直線l，使得|C1C|=|C1D|，
綜上所述，不存在直線l，使得|C1C|=|C1D|；
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）假設(shè)存在這樣的直線l滿足條件，
當直線l的斜率不存在時，易知點A（2，0）在橢圓M的外部，直線l與橢圓M無交點，所以直線l不存在．
當直線l斜率存在時，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-2），
由方程組
x 2 2 + y 2 = 1 |
y = k （ x - 2 ） |
依題意Δ=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-
2
2
2
2
當-
2
2
2
2
方程①的解為
x
1
=
8
k
2
+
△
4
k
2
+
2
x
2
=
8
k
2
-
△
4
k
2
+
2
x
0
=
x
1
+
x
2
2
4
k
2
2
k
2
+
1
∴y0=k（x0-2）=k（
4
k
2
2
k
2
+
1
-
2
k
2
k
2
+
1
要使|C1C|=|C1D|，必須有C1N⊥l，即k
?
k
C
1
N
∴k
?
-
2
k
2
k
2
+
1
-
0
4
k
2
2
k
2
+
1
-
1
所以不存在直線l，使得|C1C|=|C1D|，
綜上所述，不存在直線l，使得|C1C|=|C1D|；
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：57引用：7難度：0.1
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