人教五四新版九年級（上）中考題同步試卷：28.3 二次函數(shù)與實際問題（17）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（-2，0）和點C（0，-8）．
  （1）求該二次函數(shù)的解析式；
  （2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為

   

  ；
  （3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設(shè)P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．
  ①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
  ②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
  ③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S₀的值．
  組卷：747引用：55難度：0.5

  解析

• 2．如圖，已知：如圖①，直線y=-

  3

  x+

  3

  與x軸、y軸分別交于A、B兩點，兩動點D、E分別從A、B兩點同時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止）；對稱軸過點A且頂點為M的拋物線y=a（x-k）²+h（a＜0）始終經(jīng)過點E，過E作EG∥OA交拋物線于點G，交AB于點F，連接DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運動速度分別是1個單位長度/秒和

  3

  個單位長度/秒，運動時間為t秒．
  （1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；
  （2）當t為何值時，四邊形ADEF是菱形？判斷此時△AFG與△AGB是否相似，并說明理由；
  （3）當△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點M恰好在BG上時，求拋物線的解析式．
  
  組卷：921引用：53難度：0.5

  解析

• 3．在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點的拋物線y=mx²-x+n的對稱軸是直線x=2．
  （1）求出該拋物線的解析式．
  （2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點O和C．現(xiàn)在利用圖2進行如下探究：
  ①將三角板從圖1中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點E、F，當點E和點A重合時停止旋轉(zhuǎn)．請你觀察、猜想，在這個過程中，

  PE

  PF

  的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出

  PE

  PF

  的值．
  ②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為D，頂點為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．
  
  組卷：778引用：54難度：0.5

  解析

• 4．如圖，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線

  y

  =

  1

  8

  x

  2

  相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0．
  （1）求b的值；
  （2）求證：點（y₁，y₂）在反比例函數(shù)

  y

  =

  64

  x

  的圖象上；
  （3）求證：x₁?OB+y₂?OA=0．
  組卷：1085引用：54難度：0.5

  解析

• 5．如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
  （1）求拋物線的解析式．
  （2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．
  （3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng)）
  
  組卷：574引用：54難度：0.5

  解析

• 6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經(jīng)過點A、D及點M（-1，-1-m）．
  （1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；
  （2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數(shù)m的取值范圍；
  （3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標．
  組卷：714引用：53難度：0.5

  解析

• 7．如圖，拋物線y=-

  1

  8

  x²+mx+n經(jīng)過△ABC的三個頂點，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，3），點C在x軸的正半軸上．
  （1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式及點C的坐標；
  （2）點E為線段OC上一動點，以O(shè)E為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；
  （3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動．設(shè)平移的距離為t,正方形DEFG的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
  （4）在上述平移過程中，當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
  
  組卷：499引用：52難度：0.5

  解析

• 8．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）當四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標；
  （3）過點A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）
  
  組卷：761引用：58難度：0.5

  解析

• 9．如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標為（0，-5）．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有什么位置關(guān)系，并給出證明；
  （3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：940引用：53難度：0.5

  解析

• 10．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點為E，連接CE，點A、B、D的坐標分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F，交線段CD于點K，點M、N分別是直線l和x軸上的動點，連接MN，當線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標；
  （3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．
  組卷：670引用：54難度：0.5

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，已知點A（0，4），B（2，0）．
  （1）求直線AB的函數(shù)解析式；
  （2）已知點M是線段AB上一動點（不與點A、B重合），以M為頂點的拋物線y=（x-m）²+n與線段OA交于點C．
  ①求線段AC的長；（用含m的式子表示）
  ②是否存在某一時刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時m的值．
  組卷：513引用：53難度：0.5

  解析

• 30．如圖，已知直線y=x與拋物線

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  交于A、B兩點．
  （1）求交點A、B的坐標；
  （2）記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  的函數(shù)值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；
  （3）在該拋物線上存在幾個點，使得每個點與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個滿足條件的點P的坐標．
  組卷：429引用：54難度：0.5

  解析