已知：四邊形ABCD，連接AC，AD=CD，∠DAC=∠ABC，∠DCA=∠BAC，AD∥BC．
（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），∠FNG=120°，∠FNG的邊NF交BA的延長線于點(diǎn)F，另一邊NG交AC的延長線于點(diǎn)G，如圖2，點(diǎn)N與點(diǎn)M重合時(shí)，求證：NF=NG；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合，過點(diǎn)N作NE⊥AM，交AC于點(diǎn)E，EN：CM=3：4，AF=3，CG=4，點(diǎn)H為AD上一點(diǎn)，連接EH、GH，GH交CD于點(diǎn)R，EH=EG，求DR的長．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）4．
（2）證明見解析；
（3）4．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2025/5/29 15:30:1組卷：155引用：1難度：0.1
相似題
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1．如圖，等邊△ABC中，AB=6，動點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的兩個(gè)點(diǎn)，且滿足CD=CE+1，以CD，CE為鄰邊構(gòu)造?DCEF．記CE的長為m.（m≤5）
（1）EF=（含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)F分別落在∠A，∠B的角平分線上時(shí)，求對應(yīng)的m的值；
（3）作∠B的角平分線，交AC于H，當(dāng)BH恰好平分?DCEF的面積時(shí)，m=．（請直接寫出答案）
發(fā)布：2025/6/5 20:30:1組卷：54引用：1難度：0.3 -
2．如圖，矩形ABCD中，AD=9cm,AB=4cm,E為邊AD上一動點(diǎn)，從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以a cm/s向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動的時(shí)間為t s.
（1）當(dāng)t=3時(shí)，若EP平分∠AEC，求a的值；
（2）若a=1，且△CEP是以CE為腰的等腰三角形，求t的值；
（3）連接DP，直接寫出點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于DP對稱時(shí)的a與t的值．發(fā)布：2025/6/5 20:30:1組卷：46引用：1難度：0.3 -
3．問題提出：一條線段沿某個(gè)方向平移一段距離后與原線段構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．我們可以利用這一性質(zhì)，將有些條件通過平移集中在一起來解決一些幾何問題．
如圖①，兩條長度相等的線段AB和CD相交于O點(diǎn)，∠AOC=60°，直線AC與直線BD的夾角為α，求線段AC、BD、AB滿足的數(shù)量關(guān)系．
分析：考慮將AC、BD和AB集中到同一個(gè)三角形中，以便運(yùn)用三角形的知識尋求三條線段的數(shù)量關(guān)系：
如圖②，作CE∥AB且CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，從而AC=BE；
由于CD=AB=CE，∠ECD=∠AOC=60°，所以△ECD是等邊三角形，故ED=AB；
通過平行又求得∠EBD=180°-α．
在△BED中，研究三條線段的大小關(guān)系就可以了．
如圖②，若，BD=6，α=30°，請直接寫出線段AB的長 ；AC=23
問題解決：
如圖③，矩形ABCD中，E、F分別是AD、CD上的點(diǎn)，滿足AE=CD，DE=CF，求證：；AF=2CE
拓展應(yīng)用：
如圖④，△ABC中，∠A=45°，D、E分別在AC、AB上，BD、CE交于點(diǎn)O，BD=CE，∠BOC=120°，若BE=4，，則BD=．CD=32
發(fā)布：2025/6/5 21:0:1組卷：498引用：1難度：0.1