在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)--“博雅數(shù)”．
定義：對于三位自然數(shù)N，各位數(shù)字都不為0，且它的百位數(shù)字的2倍與十位數(shù)字和個位數(shù)字之和恰好能被7整除，則稱這個自然數(shù)N為“博雅數(shù)”．例如：415是“博雅數(shù)”，因為4，1，5都不為0，且4×2+1+5=14，14能被7整除；412不是“博雅數(shù)”，因為4×2+1+2=11，11不能被7整除．
（1）判斷513，427是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；
（2）求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大6的所有“博雅數(shù)”的個數(shù)，并說明理由．
【考點】因式分解的應(yīng)用；列代數(shù)式．
【答案】（1）513是博雅數(shù)，427不是博雅數(shù)．
（2）這樣的博雅數(shù)共有3個，它們分別是716，823，937．
（2）這樣的博雅數(shù)共有3個，它們分別是716，823，937．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/11 8:0:9組卷：670引用：7難度：0.5
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1．閱讀：材料1：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，最高次項的系數(shù)不為零，這樣的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有一種解法是利用因式分解來解的．如解方程：x2-3x+2=0，左邊分解因式得（x-1）（x-2）=0，所以x-1=0或x-2=0，所以原方程的解是x=1或x=2．
材料2：立方和公式用字母表示為：x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2），
（1）請利用材料1的方法解方程：x2-4x+3=0；
（2）請根據(jù)材料2類比寫出立方差公式：x3-y3=；（提示：可以用換元方法）
（3）結(jié)合材料1和2，請你寫出方程x6-7x3-8=0所有根中的兩個根．發(fā)布：2025/6/13 6:30:2組卷：1732引用：5難度：0.4 -
2．學(xué)習(xí)《第九章乘法公式與因式分解》時，我們借助拼圖驗證了許多乘法公式，反過來，我們也可以利用拼圖，將一些多項式因式分解，這是研究數(shù)學(xué)問題的一種常用方法．如圖（1），有足夠多的邊長為a的大正方形，長為a,寬為b的長方形和邊長為b的小正方形．
（1）利用拼圖將多項式2a2+5ab+2b2進行因式分解，畫出你的拼圖，并寫出因式分解的結(jié)果；
2a2+5ab+2b2=．
（2）若多項式9a2+12ab+kb2（k為正整數(shù)）可以用拼圖法因式分解，則k=；
（3）如圖（2），它是由四個形狀、大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD．如果每個直角三角形的較短的邊長為a,較長的邊長為b,最長的邊長為c.你能發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊長a、b、c的什么數(shù)量關(guān)系？（注：寫出解答過程）
發(fā)布：2025/6/13 18:0:2組卷：278引用：2難度：0.5 -
3．材料一：已知N為一個四位自然數(shù)，若N滿足千位上的數(shù)字等于個位上的數(shù)字，百位上的數(shù)字等于十位和個位上的數(shù)字之和，則稱N為“等和數(shù)”．
材料二：對于一個“等和數(shù)”N，將N的百位數(shù)字記為n,千位與百位上的數(shù)字之和與十位土的數(shù)字的積記為k,令F（N）=3n2+k.
例如：當(dāng)N=2312時，∵2=2且3=1+2，∴2312是“等和數(shù)”：此時，n=3，k=（2+3）×1=5，F(xiàn)（2312）=3×32+5=32；當(dāng)N=4524時，∵4=4但5≠2+4，∴4524不是“等和數(shù)”．
（1）請判斷3543，1211是否是“等和數(shù)”，并說明理由；如果是，請求出對應(yīng)的F（N）的值；
（2）若一個數(shù)是某個整數(shù)的平方，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)．已知N是個位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字的“等和數(shù)，將N的各個數(shù)位上的數(shù)字之和記為G（N），若為完全平方數(shù)，求N的所有可能值．F（N）G（N）發(fā)布：2025/6/13 12:0:1組卷：273引用：2難度：0.5
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