如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=2時，y的值相等，直線y=3x-7與這條拋物線交于兩點，其中一點橫坐標為4，另一點是這條拋物線的頂點M．
（1）求頂點M的坐標并求出這條拋物線對應的函數(shù)解析式．
（2）P為線段BM上一點（P不與點B，M重合），作PQ⊥x軸于點Q，連接PC，設OQ=t,四邊形PQAC的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式，并直接寫出t的取值范圍．
（3）在線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？若存在，直接寫出點N的坐標，若不存在，說明理由．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）M的坐標為（1，-4），拋物線的解析式為：y=x2-2x-3；
（2）S=-t2+t+（1＜t＜3）；
（3）存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形，且點N的坐標為（，-）或（1+，-4）或（2，-2）．
（2）S=-t2+
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（3）存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形，且點N的坐標為（
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/16 9:0:1組卷：389引用：3難度：0.4
相似題
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1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關于x軸的對稱點坐標為（2，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離總相等．
①證明上述結論并求出點F的坐標；
②過點F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M，N兩點．
證明：當直線l繞點F旋轉時，+1MF是定值，并求出該定值；1NF
（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標．
發(fā)布：2025/6/16 5:0:1組卷：2172引用：5難度：0.4 -
2．如圖，二次函數(shù)y=ax2-6ax-16a（a≠0）的圖象與x軸交于點A，B（A在B左側），與y軸正半軸交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，且OD=AB．
（1）求點A，B的坐標及a的值；
（2）點P為y軸右側拋物線上一點．
①如圖①，若OP平分∠COD，OP交CD于點E，求點P的坐標；
②如圖②，拋物線上一點F的橫坐標為2，直線CF交x軸于點G，過點P作直線CF的垂線，垂足為Q，若∠PCQ=∠BGC，求點Q的坐標．
發(fā)布：2025/6/16 7:30:1組卷：1429引用：4難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（-5，0），B（-4，-3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接BD，CD．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）若點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/16 5:30:3組卷：1379引用：2難度：0.1