（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E．試寫出線段DE，BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為DE=BD+CEDE=BD+CE；
（2）思考探究：如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)（1）中結(jié)論還是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】DE=BD+CE
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/31 17:30:1組卷：540引用：11難度：0.3
相似題
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1．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“朋友三角形”．
性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．
如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的中線．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
應(yīng)用：如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，BE=AF，AE與BF交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）連接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四邊形CDOE的面積．
拓展：如圖3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，則△ABC的面積是 （請(qǐng)直接寫出答案）．14
發(fā)布：2025/6/3 22:30:1組卷：470引用：5難度：0.3 -
2．綜合與實(shí)踐
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-3，0），將線段AB向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，連接AC，BD，分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，連接PC，PD．
（1）如圖1，直接寫出點(diǎn)C與點(diǎn)D的坐標(biāo)：C（ ），D（ ）．
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，求證：∠ACP+∠BDP=∠CPD．
（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方時(shí)，直接寫出∠ACP、∠BDP、∠CPD的數(shù)量關(guān)系：；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的下方時(shí)，直接寫出∠ACP、∠BDP、∠CPD的數(shù)量關(guān)系：．發(fā)布：2025/6/3 22:30:1組卷：36引用：1難度：0.2 -
3．已知在數(shù)軸上，從左往右依次有四個(gè)點(diǎn)A，C，D，B，其中點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-7和9．
（1）利用直尺和圓規(guī)作圖：如圖1，已知線段AC，CD，DB，在數(shù)軸上方，求作△ECD，使得EC=AC，ED=BD（只保留作圖痕跡）；
?（2）在（1）的條件下，在數(shù)軸上找一點(diǎn)F，直接作出直線EF，使得直線EF平分△ECD的周長(zhǎng)；
（3）如圖2，在△ECD中，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G的直線交ED于M，交CD的延長(zhǎng)線于N，若DM=DN，求證：直線GN平分△ECD的周長(zhǎng)；
（4）如圖3，若EC=ED，點(diǎn)P在邊CE上，點(diǎn)Q在邊ED上，且PQ平分△ECD的周長(zhǎng)．
請(qǐng)問(wèn)線段PQ的長(zhǎng)是否為定值？若是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是定值，當(dāng)EP與EQ滿足什么關(guān)系時(shí)，線段PQ最短，并說(shuō)明理由．
?發(fā)布：2025/6/3 22:30:1組卷：84引用：2難度：0.2