探究閱讀題：
【閱讀】在大自然里，有很多數(shù)學的奧秘，一片美麗的心形葉片，一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．（如圖1和圖2）
【探究任務(wù)1】確定心形葉片的形狀
如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，且過原點，求拋物線的解析式和頂點D的坐標．
【探究任務(wù)2】研究心形葉片的尺寸
如圖3，心形葉片的對稱軸直線y=x+2與坐標軸交于A、B兩點，直線x=6分別交拋物線和直線AB于點E、F點，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE′交直線AB與點G，求葉片此處的寬度EE′．
【探究任務(wù)3】研究幼苗葉片的生長小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分．如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究任務(wù)1中的二次函數(shù)，已知直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點D長到與點P同一水平位置的點D′時，葉尖Q落在射線OP上，如圖5所示，求此時幼苗葉子的長度和最大寬度．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】【探究任務(wù)1】：，頂點D的坐標為 （2，-1）；
【探究任務(wù)2】：；
【探究任務(wù)3】：葉片此時的長度為，最大寬度為．
y
=
1
4
x
2
-
x
=
1
4
（
x
-
2
）
2
-
1
【探究任務(wù)2】：
5
2
【探究任務(wù)3】：葉片此時的長度為
3
5
3
5
5
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/24 8:0:9組卷：750引用：2難度：0.2
相似題
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1．如圖，拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是直線x=1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 18:0:1組卷：1840引用：4難度：0.3 -
2．二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+m-5．
（1）當m=1時，函數(shù)圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．
①寫出函數(shù)的一個性質(zhì)；
②如圖1，點P是第四象限內(nèi)函數(shù)圖象上一動點，求出點P坐標，使得△BCP的面積最大；
③如圖2，點Q為第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上一動點，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F，△ABQ的外接圓與QF交于點D，求DF的長度．
（2）點M（x1，y1）、N（x2，y2）為函數(shù)圖象上任意兩點，且x1＜x2．若對于x1+x2＞3時，都有y1＜y2，求m的取值范圍．
發(fā)布：2025/5/23 18:0:1組卷：339引用：1難度：0.3 -
3．已知拋物線L：
經(jīng)過點（-2，3）和（6，7），與x軸的交點為A、B，且點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C．y=12x2+bx+c
（1）求拋物線L的函數(shù)表達式；
（2）將拋物線L平移，得到拋物線L'，且點A經(jīng)過平移后得到的對應(yīng)點為A'．要使△A'BC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，求滿足條件的拋物線L'的函數(shù)表達式．發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：417引用：2難度：0.1
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