綜合與實(shí)踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：
1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)E在AC上運(yùn)動(dòng)，∠BEF=45°，CG∥FE．探究∠AEF與∠ABE之間的關(guān)系，并證明．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）在原有條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出了新問題，請(qǐng)你解答．
“①若AF=m,BG=n,則求線段AE的長(zhǎng)（用含m、n的式子表示）；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，則①中所求AE的長(zhǎng)度是否仍然成立？若成立，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)（用含m、n的式子表示）．”
問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，保留原題條件，如果給出BE與CG的數(shù)量關(guān)系，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的任意兩條 線段之間的比值均可求．該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答．
“在（2）的條件下，若BE=CG，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并求mn的值．”
m
n
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】（1）∠ABE+∠AEF=45°；
（2）①m-n；
②m+n；
（3）．
（2）①m-n；
②m+n；
（3）
2
-
2
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/22 22:30:1組卷：391引用：1難度：0.1
相似題
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1．綜合與實(shí)踐二輪復(fù)習(xí)中，劉老師以“最值問題”為專題引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行復(fù)習(xí)探究．
問題模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2．
探究1：
（1）如圖1，點(diǎn)D為等腰三角形ABC底邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，則AD的最小值為 ，判斷依據(jù)為 ；
探究2：
（2）在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，作∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別為AE，AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DF+FG的最小值；
探究3
（3）探究在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，點(diǎn)M為線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到線段AN，連接ND，求線段DN的最小值.
?發(fā)布：2025/5/23 6:0:2組卷：331引用：4難度：0.2 -
2．定理證明
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，求證：CD=AB．12
下面給出了部分證明過程：
證明：如圖1，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=CD，連接AE，BE，
則，…CD=12CE
請(qǐng)你結(jié)合圖1，補(bǔ)全證明過程；
結(jié)論應(yīng)用
（2）如圖2，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，連接DE，DF和EF．若BC=10，EF=6，求△DEF的面積；
拓展提高
（3）如圖3，在△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，AD恰好是中線，求∠ACB的度數(shù)．
?發(fā)布：2025/5/23 4:0:1組卷：150引用：1難度：0.2 -
3．已知等邊三角形ABC，過A點(diǎn)作AC的垂線l,P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，連接QB．
（1）如圖1，直接寫出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P，B在AC同側(cè)，連接PB并延長(zhǎng)，與CQ交于點(diǎn)D，若AP=AC，求證：線段PD垂直平分CQ；
（3）如圖3，某地河堤路l旁有一邊長(zhǎng)為4的等邊三角形花圃ABC，且AC邊垂直于路l,市政部門計(jì)劃在河堤路另一側(cè)修建一個(gè)三角形的觀景平臺(tái)APQ，要求點(diǎn)P，B分別位于AC邊的異側(cè)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，再連接AQ和PQ，若三角形觀景平臺(tái)APQ的面積等于，求此時(shí)AP的長(zhǎng)度．34
發(fā)布：2025/5/23 6:0:2組卷：100引用：1難度：0.3
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